Pour tout nombre réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur l'intervalle ]0; +l'infini[ par fk(x)=lnx-k*x^2+1.

Bonjour ;

1.

On a : lim(x --> 0+) ln(x) = - ∞ et lim(x --> 0+) - k x² + 1 = 1 ;

donc : lim(x --> 0+) fk(x) = lim(x --> 0+) ln(x) - k x² + 1 = - ∞ .

2.

a.

Pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[ , on a : x < x² ;

donc pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[ , on a : 0 < 1/x² < 1/x ;

donc pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[ , on a : 0 < ln(x)/x² < ln(x) car sur ]1 ; + ∞[ est

strictement positif ;

donc : 0 ≤ lim(x --> + ∞) ln(x)/x² ≤ lim(x --> + ∞) ln(x)/x = 0 ;

donc : lim(x --> + ∞) ln(x)/x² = 0 .

b.

On a : lim(x --> + ∞) 1/x² = 0 .

lim(x --> + ∞) fk(x) = lim(x --> + ∞) ln(x) - k x² + 1

= lim(x --> + ∞) x²(ln(x)/x² - k + 1/x²) = - ∞ ;

car : lim(x --> + ∞) x² = + ∞ et lim(x --> + ∞) ln(x)/x² - k + 1/x² = - k .

3.

Pour tout x ∈ ]0 ; + ∞ [ on a : (ln(x))' = 1/x et (- kx² + 1 )' = (- kx²)' + (1)'

= - 2kx + 0 = - 2kx ;

donc : f'k(x) = (ln(x) - k x² + 1)' = (ln(x))' + (- k x² + 1)'

= 1/x - 2 kx = (1 - 2kx²)/x .