Bonsoir est ce que vous pouvez m’aider pour l exercice 2 s’il vous plaît ?

Bonjour,

Merci de recopier l'énoncé... : Un chercheur étudie l'évolution d'une bactérie dont la population double toute les heures, on suppose que le chercheur disposé initialement d'une seule bactérie. On considère (Vn) la suite modélisant le nombre de bactéries après n heures. On a donc V(0) = V0 = 1

1) Après une heure : V1 = V0 × 2 = 1 × 2 = 2 Bactéries

2) Au bout de deux heures : V2 = V1 × 2 = 2 × 2 = 4 bactéries

3) On passe d'un terme à un autre en multipliant par 2 la valeur de Vn qui précède

4) Vn+1 = 2Vn

5) Le chercheur affirme cela car la population de bactéries est un multiple de 2 donc pair or 257 est un nombre impair

Réponse :

1) calculer le nombre de bactéries au bout d'une heure

     V1 = 2 x V0 = 2 x 1 = 2

2) au bout de 2 h le nombre de bactéries est : V2 = 2 x V1 = 2 x 2 = 4

3) comment passe t-on d'un terme à l'autre de la suite (Vn)

    V1 = 2 V0  ⇔ V1/V0 = 2

    V2 = 2 V1  ⇔ V2/V1 = 2

Donc  V1/V0 = V2/V1 = 2 ⇒  (Vn) est une suite géométrique de raison q = 2  et de premier terme V0 = 1

4) écrire une relation de récurrence  

      puisque (Vn) est une suite géométrique  Vn+1 = Vn x q

donc  Vn+1 = 2 x Vn

5)  pourquoi le chercheur affirme t-il cela ?

pour répondre à cette question

on écrit la suite (Vn) sous la forme explicite :  Vn = V0 x qⁿ

donc  Vn = 2ⁿ

On écrit  2ⁿ = 257  ⇔ nln2 = ln257 ⇔ n = ln257/ln2 = 5.549/0.693 = 8 h

au bout de 8 h   le nombre de bactéries est de : V8 = 2⁸ = 256

or il a observé 257 bactéries alors qu'il devrait avoir 256 bactéries donc il y a une bactérie contaminante  

Explications étape par étape