Bonjours excusez moi de vous dérangez mais je n'arrive pas à effectuer cet exercice donné par mon professeur, pouvez vous m'aidez à le comprendre. Merci d'avanc

Réponse:

1.

On cherche le signe de Un+1 - Un

Un+1 - Un = 1/1¹ + 1/2² +..+ 1/n² + 1/(n+1)² - ( 1/1² + 1/2² +..+ 1/n²)

Un+1 - Un = 1/(n+1)²

Un+1 - Un > 0 donc (un) est croissante

2.

On passe tout dans le même membre pour connaitre le signe de l'expression

1/k² - 1/(k-1) + 1/k = [(k-1) - k² +k(k-1)]/[k²((k-1)] = -1/[k²(k-1)] avec k≥2

On en deduit que -1/[k²(k-1)] ≤0

donc

1/k² - 1/(k-1) + 1/k ≤ 0

1/k² ≤ 1/(k-1) - 1/k

Un = 1 + 1/2² + .. + 1/n²

Un - 1 = 1/2² + .. + 1/n²

or

1/2² ≤ 1 - 1/2

1/3² ≤ 1/2 - 1/3

ainsi de suite jusqu'à

1/n² ≤ 1/(n-1) - 1/n

l'inegalité est compatible avec l'addition

donc

1/2² + 1/3³+... + 1/n² ≤ 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/(n-1) - 1/n

1/2² + 1/3³+... + 1/n² ≤ 1 - 1/n

Un- 1 ≤ 1- 1/n et 1-1/n ≤ 1

Un - 1 ≤ 1

Un ≤ 2

(Un) est majorée par 2

3.

La suite est croissante et majorée par 2 donc la suite converge.

4. determine a la calculatrice la valeur de Un pour n tres grand et deduis en π