Bonjour, j'ai un exercice noté (pour demain) qui me pose des problèmes, si vous voulez bien y jeter un œil : Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit
Mathématiques
chachouuu
Question
Bonjour, j'ai un exercice noté (pour demain) qui me pose des problèmes, si vous voulez bien y jeter un œil :
Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit avec un cout total en euros exprimé par : C(x)= x²/10 - 20x + 1960
Le cout moyen unitaire est défini par : Cm = C(x)/x
1. a) Calculer C'm(x)
b) Déduisez-en les variations de Cm.
c) Pour quelle valeur x0 de x, Cm(x) est-il minimal ?
2. a) Calculer C'(x)
b) Vérifiez que C'(x0) = Cm(x0)
3. Vérifiez que la tangente à la courbe "cout total" au point d'abscisse x0 passe par l'origine.
Voilà, merci :).
Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit avec un cout total en euros exprimé par : C(x)= x²/10 - 20x + 1960
Le cout moyen unitaire est défini par : Cm = C(x)/x
1. a) Calculer C'm(x)
b) Déduisez-en les variations de Cm.
c) Pour quelle valeur x0 de x, Cm(x) est-il minimal ?
2. a) Calculer C'(x)
b) Vérifiez que C'(x0) = Cm(x0)
3. Vérifiez que la tangente à la courbe "cout total" au point d'abscisse x0 passe par l'origine.
Voilà, merci :).
1 Réponse
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1. Réponse xxx102
Bonjour,
1)
a)
[tex]D_{Cm} = \mathbb R ^*[/tex]
Dérivée d'un quotient :
[tex]C'm\left(x\right) = \frac{C'\left(x\right)x - x'C\left(x\right)}{x^2}[/tex]
Dérivons C(x).
[tex]C'\left(x\right) = \left(\frac {x^2}{10}\right)' -\left(20x\right)' +1960\\ C'\left(x\right) = \frac {1}{10} \left(x^2\right)' -20\\ C'\left(x\right) = \frac{1}{10} \times 2x -20\\ \boxed{C'\left(x\right) = \frac x5 -20}[/tex]
On remplace dans l'autre expression.
[tex]C'm\left(x\right) = \frac{C'\left(x\right)x - x'C\left(x\right)}{x^2}\\ C'm\left(x\right) = \frac{x\left(\frac x5 - 20\right) -\frac {x^2}{10} + 20x -1960}{x^2}\\ C'm\left(x\right) = \frac{\frac{x^2}{5} -20x -\frac {x^2}{10} + 20x -1960}{x^2}\\\boxed{ C'm\left(x\right) = \frac{\frac{x^2}{10} -1960}{x^2}}[/tex]
[tex]D_{C'm} = \mathbb R ^*[/tex]
b)Il faut ensuite réaliser le tableau de signes de la fonction précédente.
Pour cela, on étudie seulement le signe de x²/10 - 1960, x² étant strictement positif pour tout x appartenant au domaine de définition.
Cette expression a le même signe que x² - 19600.
19 600 = 140².
Elle est strictement positive quand
[tex]x \in \left]-\infty ; -140\right[ \cup \left]140 ; +\infty[[/tex]
Elle est nulle pour x = -140 ou x = 140
Elle est strictement négative pour :
[tex]x\in \left]-140 ; 0\right[ \cup \left]0 ; 140\right[[/tex]
La fonction Cm est strictement croissante sur les intervalles où sa dérivée est strictement positive et strictement décroissante quand elle est strictement négative. Donc Cm est strictement croissante sur
[tex]\left]-\infty ; -140\right[ \cup \left]140 ; +\infty[[/tex]
et strictement décroissante sur
[tex]\left]-140 ; 0\right[ \cup \left]0 ; 140\right[[/tex]
Enfin, elle admet deux extrémums en -140 et 140, respectivement un maximum et un minimum car la dérivée change de signe.
Attention ! Ce n'est pas parce que la dérivée s'annule qu'il y a forcément un extrémum, il faut aussi qu'elle change de signe.
c)D'après la question précédente, le minimum de Cm est atteint pour x0 = 140.
2)
a)D'après 1)a)
[tex]\boxed{C'\left(x\right) = \frac 15 x -20}[/tex]
b)[tex]C'\left(140\right) = \frac{140}{5}-20\\ \boxed {C'\left(140\right) = 8}[/tex]
[tex]C_m\left(140\right) = \frac{\frac{140^2}{10}-20\times 140 +1960}{140} \\ \boxed{C_m\left(140\right) = 8}[/tex]
c)
Équation de la tangente :
[tex]y = f'\left(a\right) \left(x-a\right)+f\left(a\right)\\ y = C'\left(140\right) \left(x - 140\right) + C\left(140\right)\\ y = 8\left(x-140\right) + 1120\\ y = 8x-1120+1120\\ \boxed{y = 8x}[/tex]
Et en effet, le point O (0 ; 0) vérifie bien cette équation (puisque 8*0 = 0).
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)