SALUT S IL VOUS PLAIT A ET NOMBRES REELS STUCTEMENT POSITIFS MOnter que 2ab/a+b≤√ab≤a+b/2

Bonjour ;

Montrons tout d'abord que pour tous nombres a et b des réels

strictement positifs : √(ab) ≤ (a + b)/2 .

On a pour tous nombres a et b des réels strictement

positifs : (√a - √b)² ≥ 0 ;

donc : (√a)² - 2 x √a x √b + (√b)² ≥ 0 ;

donc : a - 2√(ab) + b ≥ 0 ;

donc : a + b ≥ 2√(ab) ;

donc : (a + b)/2 ≥ √(ab) .

Ensuite , montrons que pour tous nombres a et b des réels

strictement positifs : 2ab/(a + b) ≤ √(ab) .

On a pour tous nombres a et b des réels strictement

positifs : (√a - √b)² ≥ 0 ;

donc : (√a)² - 2 x √a x √b + (√b)² ≥ 0 ;

donc : a - 2√(ab) + b ≥ 0 ;

donc : a + b ≥ 2√(ab) ;

donc : 1 ≥ (2√(ab))/(a + b) ;

donc : √(ab) ≥ 2(√(ab))²/(a + b) ;

donc : √(ab) ≥ 2ab/(a + b) .

Conclusion :

On a pour tous nombres a et b des réels strictement

positifs : 2ab/(a + b) ≤ √(ab) ≤ (a + b)/2 .