BESOIN D AIDE RAPIDEMENT SVP :/ merci infiniment PREMIERE

Réponse:

Un = f(n) a les memes variations que f(x) sur IR+

1) Un est croissante car f(x) = x² est croissante sur IR+

2)

Un est croissante car f(x)=3x-5 est croissante sur IR

3)

Un est decroissante car f(x) = 1+1/x est decroissante sur IR+*

4)

f(x)=-2/(x+4) est decroissante sur ]-4; +∞[ donc Un =f(n) est decroissante sur IN

5)

f(x)= x/(x+1) f'(x) = -1/(x+1) f'(x) < 0 sur IR+ donc f est decroissante sur IR+. Un = f(n) est decroissante sur IN

6)

Un+1 - Un = 5ⁿ⁺¹/(n+1) - 5ⁿ/n =[ n5ⁿ⁺¹ -(n+1)5ⁿ]/ (n*(n+1))

= [5ⁿ(5n-n-1)]/(n(n+1))

= 5ⁿ×(4n-1)/(n(n+1))

5ⁿ>0

n(n+1) >0

4n-1≥0 pour n ≥¼

donc 5ⁿ×(4n-1)/(n(n+1)) ≥ 0 sur IN*

(Un) est croissante sur IN*

7) f(x) = 2x²-1

f'(x) = 4x

f'(x) ≥ 0 sur IR+ donc f (x) est croissante sur IR+ et Un est croissante sur IN

8)

Un+1 - Un =

3ⁿ⁺¹/(2n+2) - 3ⁿ/(2n) =

[2n×3ⁿ⁺¹ - 3ⁿ×(2n+2)]÷[2n(2n+2)] =

[3ⁿ(3×2n -(2n+2)]÷[2n(2n+2)] =

[3ⁿ(4n-2)]/[2n(2n+2)]

3ⁿ>0

(2n(2n+2)) >0

4n-2 ≥0 pour n ≥ ½

donc [3ⁿ(4n-2)]/[2n(2n+2)] ≥ 0 sur IN*

(Un) est croissante sur IN*