Bonjour, Pouvez-vous svp m'aider à résoudre cet exercice, c'est pour un DM de math à rendre demain, merci. 1) Résoudre dans R l'équation : ln (3x² − x) = ln x +

Salut !

1)

Applique l'exponentielle des deux côtés :

exp(ln (3x² − x)) = exp(ln x + ln 2)

⇔ 3x² - x = exp(ln x) * exp(ln 2)

⇔ 3x² - x = 2x

⇔ 3x² - 3x = 0

⇔ 3x(x - 1) = 0

⇔ x = 0 ou x = 1

Cependant la fonction ln n'est pas définie en 0, donc x = 0 ne peut pas être une solution. Il faut aussi vérifier que pour x = 1, (3x² - x) > 0. C'est le cas donc x = 1 est l'unique solution de l'équation.

2)

On applique l'exponentielle :

exp(ln (3x² − x − 2)) ≽ exp(ln (6x + 4))

L'inéquation reste dans le même sens car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

⇒ 3x² - x - 2 ≥ 6x + 4

⇔ 3x² - 7x - 6 ≥ 0

On résoud et on trouve x₁ = -2/3 et x₂ = 3

Il faut maintenant vérifier qu'avec ces deux valeurs, on est dans le domaine de définition de ln :

3*(-2/3)² - (-2/3) - 2 = 0 La fonction ln n'est pas définie en 0.

3*3² - 3 - 2 = 22

6*3 + 4 = 22

On en conclut que la seule solution de l'équation est x = 3.

Bonjour ;

1.

L'équation en question est définie si : 3x² - x > 0 et x > 0 ;

donc : si 3x(x - 1/3) > 0 et x > 0 ;

donc si : x ∈ ]- ∞ ; 0[ ∪ ]1/3 ; + ∞ [ et x > 0 ;

donc si : x > 1/3 .

On a : ln(3x² - x) = ln(x) + ln(2)

donc : ln(3x² - x) = ln(2x) ;

donc : 3x² - x = 2x ;

donc : 3x² - 3x = 0 ;

donc : 3x(x - 1) = 0 ;

donc : x = 0 ou x = 1 ;

donc : x = 1 car on a 0 < 1/3 .

2.

L'inéquation est définie si 3x² - x - 2 > 0 et 6x + 4 > 0 .

Étudions le signe de 3x² - x - 2 .

On a : Δ = 1 + 24 = 25 ;

donc on a : x1 = (1 - 5)/6 = - 4/6 = - 2/3 et x2 = (1 + 5)/6 = 6/6 = 1 ;

donc on a 3x² - x - 2 > 0 pour x ∈ ]- ∞ ; - 2/3[ ∪ ]1 ; + ∞ [ .

On a aussi : 6x + 4 > 0 ;

donc : 6x > - 4 ;

donc : x > - 4/6 = - 2/3 .

Conclusion : l'inéquation est définie pour x ∈ ]1 ; + ∞[ .

On a : ln(3x² - x - 2) ≥ ln(6x + 4) ;

donc : 3x² - x - 2 ≥ 6x + 4 ;

donc : 3x² - 7x - 6 ≥ 0 .

Étudions le signe de 3x² - 7x - 6 .

On a : Δ = 47 + 72 = 121 ;

donc : x1 = (7 - 11)/6 = - 4/6 = - 2/3 et x2 = (7 + 11)/6 = 18/6 = 3 ;

donc 3x² - 7x - 6 ≥ 0 pour x ∈ ] - ∞ ; - 2/3 ] ∪ [ 3 ; + ∞ [ ;

donc comme x ∈ ]1 ; + ∞[ alors l'ensemble des solutions de l'inéquation

est : S = [3 ; + ∞[ .