le systerne Resoudre dans z x² - y2 =5440 PGCD (x; y) = 8

On considère deux entiers naturels x et y tels que : x2   – y2   = 5440

PGCD (x ; y) = 8

Il existe deux entiers naturels x’ et y’ premiers entre eux tels que x = 8x’ et y = 8y’.

D’où : 64x’2   – 64y’2   = 5440

Donc : 64(x’2   – y’2  ) = 5440

x’2   – y’2   = 85

(x’ – y’)(x’ + y’) = 85

(x’ – y’) et (x’ + y’) sont des entiers relatifs.

Donc : (x’ – y’) et (x’ + y’) sont des diviseurs de 85.

(x’ + y’) est un entier naturel, puisque x’ et y’ sont des entiers naturels.

Le produit (x’ – y’)(x’ + y’) doit être un entier naturel (soit 85).

Donc, (x’ – y’) est un entier naturel.

D’après la question précédente, (x’ – y’) et (x’ + y’) sont des diviseurs de 85, et positifs.

Les diviseurs positifs de 85 sont 1, 5, 17 et 85.

De plus : x’ – y’ ≤ x’ + y’ puisque y’ entier naturel.

Donc, on a les différents cas suivants :

x’ – y’ = 1 x’ – y’ = 5

x’ + y’ = 85 x’ + y’ = 17

On additionne les deux équations.

2x’ = 86 2x’ = 22

y’ = 85 - x’ y’ = 17 - x’

x’ = 43 x’ = 11

y’ = 42 y’ = 6

x = 8x’ = 344 x = 8x’ = 88

y = 8y’ = 336 y = 8y’ = 48

Réciproquement, les couples (344, 336) et (88, 48) vérifient x2   – y2   = 5440

PGCD (x ; y) = 8

Donc : S = {(344, 336) ; (88, 48)}.