bonjour à tous ...svp aider moi à faire cet exercice merci d'avance ! ​

Réponse :

Soient a,b > 0. On veut démontrer que √

ab 6

a+b

2

. Comme les deux membres de cette inégalité sont

positifs, cette inégalité est équivalente à ab 6 (

a+b

2

)

2

. De plus,

ab 6

a+b

2

2

⇔ 4ab 6 a

2 +2ab+b

⇔ 0 6 a

2 −2ab+b

2

ce qui est toujours vrai car a

2 − 2ab + b

2 = (a − b)

2

est un carré parfait. On a donc bien l’inégalité

voulue.

2. Quitte à échanger a et b (ce qui ne change pas les moyennes arithmétique et géométrique, et qui préserve

le fait d’être compris entre a et b), on peut supposer que a 6 b. Alors en ajoutant les deux inégalités

a/2 6 a/2 6 b/2

a/2 6 b/2 6 b/2,

on obtient

a 6

a+b

2

6 b.

De même, comme tout est positif, en multipliant les deux inégalités

√

a 6

√

a 6

√

b

√

a 6

√

b 6

√

b

on obtient

a 6

√

ab 6 b.

3. Il faut avant tout remarquer que pour tout n, un et vn sont strictement positifs, ce qui permet de dire que

les deux suites sont bien définies. On le démontre par récurrence : c’est clair pour u0 et v0, et si un et vn

sont strictement positifs alors leurs moyennes géométrique (qui est un+1) et arithmétique (qui est vn+1)

sont strictement positives.

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(a) On veut montrer que pour chaque n, un 6 vn. L’inégalité est claire pour n = 0 grâce aux hypothèses

faites sur u0 et v0. Si maintenant n est plus grand que 1, un est la moyenne géométrique de un−1 et

vn−1 et vn est la moyenne arithmétique de un−1 et vn−1, donc, par 1., un 6 vn.

(b) On sait d’après 2. que un 6 un+1 6 vn. En particulier, un 6 un+1 i.e. (un) est croissante. De même,

d’après 2., un 6 vn+1 6 vn. En particulier, vn+1 6 vn i.e. (vn) est décroissante.

(c) Pour tout n, on a u0 6 un 6 vn 6 v0. (un) est donc croissante et majorée, donc converge vers une

limite `. Et (vn) est décroissante et minorée et donc converge vers une limite `

0

. Nous savons maintenant que un → `, donc aussi un+1 → `, et vn → `

0

; la relation un+1 =

√

unvn s’écrit à la limite :

` =

√

``0

.

De même la relation vn+1 =

un+vn

2

donnerait à la limite :

`

0 =

`+`

0  2 . Un petit calcul avec l’une ou l’autre de ces égalités implique ` = `

0 . Il y a une autre méthode un peu plus longue mais toute aussi valable.

Définition Deux suites (un) et (vn) sont dites adjacentes si

1. un 6 vn,

2. (un) est croissante et (vn) est décroissante,

3. lim(un −vn) = 0.

Alors, on a le théorème suivant :

Théorème : Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, elles sont toutes les deux convergentes et ont la même

limite.

Pour appliquer ce théorème, vu qu’on sait déjà que (un) et (vn) vérifient les points 1 et 2 de la définition, il suffit

de démontrer que lim(un −vn) = 0. On a d’abord que vn −un > 0. Or, d’après (a)

vn+1 −un+16vn+1 −un =

vn −un

Donc, si on note wn = vn − un, on a que 0 6 wn+1 6 wn/2. Donc, on peut démontrer (par récurrence) que

0 6 wn 6  w0  2 n , ce qui implique que limn→∞ wn = 0. Donc vn − un tend vers 0, et ceci termine de démontrer

que les deux suites (un) et (vn) sont convergentes et ont même limite en utilisant le théorème sur les suites

adjacentes.

Explications étape par étape