On place un point M quelconque à l’intérieur d’un triangle équilatéral ABC. Démontrer que la somme des distances du point M aux cotés du triangle reste constant

Soit P un point à l'intérieur du triangle équilatéral ABC

Pa, Pb et Pc ses projections sur les côtés BC, AC et BA

1)

triangle BPC : aire = (BC x PPa)/2

triangle APC : aire = (AC x PPb)/2

triangle APB : aire = (AB x PPc)/2

Somme des aires : (égale à celle du triangle ABC)

(BC x PPa)/2 +  (AC x PPb)/2 + (AB x PPc)/2 =

(BC x PPa)/2 +  (BC x PPb)/2 + (BC x PPc)/2 =

                         puisque AB = BC = CA  (équilatéral)

[BC ( PPa + PPb + PPc)]/2

2)

triangle ABC j'appelle H le pied de la hauteur issue de A

aire ABC = (BC x AH)/2

3)

d'où l'égalité

[BC ( PPa + PPb + PPc)]/2 = (BC x AH)/2

et PPa + PPb + PPc = AH