bonjour! j'ai un Dm de math niveau seconde et je n'arrive pas a faire cet exercice. quelqu'un pourrait il me donner quelques explications s'il vous plait? soit
Question
soit ABCD un carré de coté 5. on considère un point M mobile sur AB. on note AM = x ( x peut prendre toutes les valeurs réelles comprises entre 0 et 5) . on considère un point R de BC tel que BR= AM et un point S de AD tes que AS = BM.
problème: on souhaite démontrer que les droites MS et MR sont perpendiculaires.
1. calculer MS au carré en fonction de x
2. calculer MR au carré en fonction de x
3. pour calculer RS au carré, on introduit le point H projeté orthogonal de R sur AD.
a. que peut on dire du triangle RSH? construire H sur la figure
b. montrer que SH= 2x-5
c. en déduire RS au carré en fonction de x.
4. conclure quant au problème posé.
1 Réponse
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1. Réponse aymanemaysae
Bonjour ;
1.
On a : AS = MB = AB - AM = 5 - x .
ABCD est carré , donc le triangle MAS est rectangle en A ,
donc en appliquant le théorème de Pythagore , on a :
MS² = AM² + AS² = x² + (5 - x)² = x² + 5² - 10x + x² = 2x² - 10x + 25 .
2.
Le triangle MBR est rectangle en B , donc en appliquant le théorème
de Pythagore , on a :
MR² = BM² + BR² = AS² + AM² = MS² = 2x² - 10x + 25 .
3.
a.
H est le projeté orthogonal de R sur AD , donc les droites (HR)
et (AD) sont perpendiculaires , donc le triangle RSH est rectangle
en H .
b.
On a tout d'abord : AH = BR = x ;
donc : SH = AS - AH = (5 - x) - x = 5 - 2x .
c.
On a : HR = AB = 5 .
Le triangle RHS est rectangle en H , donc en appliquant
le théorème de Pythagore , on a :
RS² = SH² + HR² = (5 - 2x)² + 5² = 5² - 20x + (2x)² + 5²
= 25 - 20x + 4x² + 25 = 4x² - 20x + 50 .
4.
On a :
MR² + MS² = (2x² - 10x + 25) + (2x² - 10x + 25) = 4x² - 20x + 50 ;
donc on a : MR² + MS² = RS² ;
donc en appliquant le théorème réciproque de Pythagore ,
le triangle RMS est rectangle en M , donc les droites (MS) et
(MR) sont perpendiculaires .
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