Bonjour, j'ai cet exercice à faire en DM.... Mais je bloque un peu, est-ce-que quelqu'un pourrait me donner une piste s'il vous plaît ? Je ne veux pas forcément

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

[tex]a\sum_{k=0}^n\ (_k^n)\Left\ a^{n-k}*b^k\\\\=\sum_{k=0}^n\ (_k^n)\Left\ a^{n-k+1}*b^k\\\\=\sum_{k=0}^0\ (_k^n)\Left\ a^{n-k+1}*b^k\ +\ \sum_{k=1}^n\ (_k^n)\Left\ a^{n-k+1}*b^k\\\\=a^{n+1}*b^0+ \sum_{k=1}^n\ (_k^n)\Left\ a^{n-k+1}*b^k\\\\\\=a^{n+1}+ \sum_{k=1}^n\ (_k^n)\Left\ a^{n-k+1}*b^k\\\\\\[/tex]

On permute a et b

[tex]b\sum_{k=0}^n\ (_k^n)\Left\ b^{n-k}*a^k\\\\=\sum_{k=0}^n\ (_k^n)\Left\ a^{n-k}*b^{k+1}\\\\=\sum_{k=0}^{n-1}\ (_k^n)\Left\ a^{n-k}*b^{k+1}+ \sum_{k=n}^n\ (_k^n)\Left\ a^{n-k}*b^{k+1}\\\\\\=\sum_{k=0}^{n-1}\ (_k^n)\Left\ a^{n-k}*b^{k+1}+a^0*b^{n+1}\\\\=\sum_{k=0}^{n-1}\ (_k^n)\Left\ a^{n-k}*b^{k+1}+b^{n+1}[/tex]