Mathématiques

Question

Pouzez-vous m'aider pour cet exo de maths du bac 2013 sur les nombres complexes svp?? :)

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse
et justifier la réponse choisie. 

1. Proposition 1 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des
points M dont l’affixe z vérifie l’égalité |z - i| = | z + 1| est une droite

2. Proposition 2 : Le nombre complexe [tex](1 + i \sqrt{3})^4[/tex]  est un nombre réel.

3. Soit ABCDEFGH un cube (voir pièce jointe)
Proposition 3 : Les droites (EC) et (BG)
sont orthogonales.

4. L’espace est muni d’un repère orthonormé [tex](O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})[/tex]. Soit le plan P d'équation cartésienne x + y + 3z + 4 = 0. On note S le point de coordonnées (1, -2, -2).
Proposition 4 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P a pour représentation paramétrique :
x = 2 + t
y = -1 + t
z = 1 + 3t où t ∈ R
Pouzez-vous m'aider pour cet exo de maths du bac 2013 sur les nombres complexes svp?? :) Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vr

0 Commentaire.

2 Réponse

  • 1. C'est vrai : si on pose A, le point d’affixe i et B le point d’affixe −1 dans le plan complexe, alors puisque M est le point d’affixe z, on a : |z - i| = [tex]|z_{M} - z_{A}| [/tex] = AM et |z + 1| = MB
    Donc l’ensemble des points M recherché est l’ensemble des points équidistants de A et de B, c’est à dire la médiatrice du segment [AB], c’est donc bien une droite.

    2. C'est faux. On remarque que [tex]i + \sqrt{3} = 2 \times ( \frac{1}{2} + i \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = 2 (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i \frac{\pi}{3} } [/tex].
    Tu utilises les propriétés des modules et des arguments des nombres complexes. Ca donne :
    [tex] (1 + i \sqrt{3})^{4} = 2^{4} \times e^{ \frac{4i\pi}{3} } [/tex].

    Un argument du nombre complexe étudié est donc [tex] \frac{4\pi}{3} [/tex] qui n'est congru ni à 0 ni à π modulo 2π, donc le nombre n'est pas réel.

    3. Vrai  Les faces BCGF et AEHD sont des carrés, donc les segments [BG] et [FC] d’une part, [ED] et [AH] d’autre part sont perpendiculaires. Le planmédiateur de [BG] contient donc les points E,D,C,F. Donc en particulier (BC) et (CG) sont orthogonales.

    4 Vrai      La droite dont on nous propose une représentation paramétrique est dirigée par un vecteur [tex]\overrightarrow n[/tex]  de coordonnées (1 ; 1 ; 3), c’est à dire par un vecteur qui est normal à P,  d’après l’équation de celui-ci. Comme de plus, le point S est sur cette droite dont on nous donne la représentation paramétrique, on peut en déduire que la représentation paramétrique donnée est bien celle de la droite décrite.


  • pas le tps de tout faire mais voici la reponses aux 2 premieres questions.
    1.
    On pose A d affixe i et B d'affixe -1. alors |z-i|=|z+1| équivaut à
    |z-(i)|=|z-(-1)] equivaut à AM=BM equivaut à M est sur la médiatrice de [AB]... donc il s agit bien dune droite

    2. on ecrit 1+i racine(3) sous forme exponentielle
    1+i racine(3)= 2*(1/2 + i racine(3)/2) = 2*(cos(pi/3)+i sin(pi/3)) =2*e^(i*pi/3)
    et donc
    z=(1+i racine(3))^4=(2*e^(i*pi/3))^4=16*e^(i*4pi/3)=16 e^-(i*2pi/3)
    donc arg(z)=-2pi/3 qui est different 0 et pi, dc z n est pas reel

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