Bonsoir à tous ! Pouvez-vous m’aider pour cet exercice de mathématiques, merci d’avance et bonne vacances !!

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

1) f(x) a la forme d'un trinôme du second degré dont le coefficient de x² (4) est positif.

Une telle fonction est décroissante de moins l'infini à son sommet (d'abscisse x=-b/(2a))

puis croissante de ce même sommet à plus l'infini.

Les coordonnées du sommet sont :

x = -b / (2a) = - (-12) / 8 = 3/2 = 1,5

y = ( 4ac - b² ) / ( 4a ) = -12

ce sommet est un minimum.

Voir tableau de variation en annexe.

2) f(x) = m

4x² - 12x - 3 = m

4x² - 12x - ( m + 3 ) =0

Delta = 12² - 4 . 4 . ( m + 3 )

= 144 - 16 ( m + 3 )

= 16 . 9 - 16 ( m + 3 )

=16 [ 9 - ( m + 3 ) ]

= 16 ( 9 - m - 3 )

= 16 ( 6 - m )

Delta < 0         6 - m < 0              m > 6            pas de racine

Delta = 0         6 - m = 0              m = 6            1 racine

Delta > 0         6 - m > 0              m < 6            2 racines

3) Le Delta de f(x) = 0 vaut 192 = 64 . 3 = 8² . 3

solutions : x = 3/2 + racine( 3 ) et x = 3/2 - racine( 3 )

4) il faut déterminer le signe de f(x) - 4

f(x) - 4 = ( 4x² - 12 x - 3 ) - 4

= 4x² - 12 x - 7

Delta = 144 + 112 = 256 = 16²

Racines : -1/2 et 7/2

Un polynôme du second degré a toujours le même signe que celui de son coefficient de degré le plus élevé (a=4>0) sauf entre ses éventuelles racines.

si x < -1/2 ou x > 7/2 , f(x) au dessus de la droite y = 4

si x apparient à ]-1/2;3/2[ f(x) est en dessous

voir graphique de la seconde annexe, la courbe C est en rouge et la droite y = 4 en bleu

J'espère t'avoir aidé...