Salut Je suis en seconde C Soit ABC un triangle de centre de gravité G, i le milieu de [BC]. 1. Démontrons que pour tout point M du plan: . vecteur MA + vecteu

Réponse :

Explications étape par étape

1) MA+MB+MC=MG+GA+MG+GB+MG+GC=3MG+GA+GB+GC

or GA+GB+GC=0 car G est le centre de gravité du triangle ABC

donc MA+MB+MC=3MG

 2MA-MB-MC=2(MI+IA)-(MI+IB)-(MI+IC)=2MI-2MI-(IB+IC)+2IA

or IB+IC=0 car I est le milieu de [BC] donc

2MA-MB-MC=2 IA

Tout ceci est en vecteurs ajoute les flèches.

2)C'est l'ensemble des points tels que 3MG=2IA

soit GM=(2/3) AI

mais (2/3)AI=AG (propriété des médianes d'un triangle). M est le point tel que GM=AG;  M est donc le symétrique de A par rapport à G.

II3MGII=II 2 IA II soit II GMII=(2/3)II AI II

Dans ce cas on parle de longueurs et non de vecteurs

Il existe donc deux points M, le point M symétrique de G par rapport à A et le point A car si M est en A on a MG= (2/3)IA (sans flèche)

Rappel de la propriété concernant le centre de gravité d' un triangle: G est situé au (2/3) de la longueur de la médiane en partant du sommet AG=(2/3)AI ( avec ou sans flèches).