Bonjour,mes amis.pourriez vous m'aider avec cet question,merci beaucoup. Démontrer par récurrence que : 2) (pour tout n € N) : 3^2n -1 est un multiple de 4. ​

(pour tout n € N) : 3²ⁿ -1 est un multiple de 4.

Appelons p(n) la propriété :  3²ⁿ -1 est un multiple de 4.

ce qui peut s'écrire : il existe un entier k tel que

                                                3²ⁿ -1 = 4k

p(n)  :  3²ⁿ  - 1 = 4k

p(n+1) : 3²ⁿ+²  - 1 = 4k'

1) initialisation

si n = 0 alors   3⁰ -1 = 4k

             alors   1 - 1 = 4k

vrai car 0 est multiple de tous les nombres

p(0) vraie

2) hérédité

on veut démontrer que si p(n) est vraie alors p(n+1) est vraie

Si    3²ⁿ  - 1 = 4k  alors  3²ⁿ+²  - 1 = 4k'

(pour passer de  3²ⁿ  à  3²ⁿ+² on doit multiplier par 3²

Si     3²ⁿ  - 1 = 4k     alors      3² ( 3²ⁿ  - 1 = 3²(4k)

                              alors       3²ⁿ+² - 3² = 36k

                              alors        3²ⁿ+² - 1 - 8 = 36k

                             alors          3²ⁿ+² - 1 = 8 + 36k

                              alors        3²ⁿ+² - 1 = 4(2 + 9k)  

on a trouvé k' (= 2 + 9k) tel que

                                    3²ⁿ+²  - 1 = 4k'

on a démontré que si p(n) est vraie alors p(n+1)  est vraie

la propriété est héréditaire    

3) conclusion

puisque p(0) est vraie et que la propriété est héréditaire alors  p(n) est vraie pour tout naturel