Bonjour, je suis max jai eu mon devoir avant hier et Voici l'énoncé: |.1) Soit f la fonction définie sur R* par f(x)=1/x Avec h different de 0 vérifier que f(1+

Réponse:

1)

[tex] f(1+h)-f(1) = \frac{1}{1 + h} - \frac{1}{1} [/tex]

[tex] f(1+h)-f(1) = \frac{1 - (1 + h)}{1 + h} [/tex]

[tex] f(1+h)-f(1) = \frac{ - h}{1 + h} [/tex]

2)

[tex]lim( \frac{f(1+h)-f(1)}{h} ) =lim( \frac{ - 1}{1 + h} ) = \: - 1\\ h - > 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: h - > 0[/tex]

f est derivable en 1 et f'(1)=-1

3) On montre de la meme maniere que

[tex] f(a+h)-f(a) = \frac{ - h}{a(a + h)} [/tex]

[tex]lim( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} ) =lim( \frac{ - 1}{(a(a + h)} ) = \: \frac{ - 1}{ {a}^{2} } \\ h - > 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: h - > 0[/tex]

Ainsi f est derivable en a avec a appartenant à IR* et f'(a) = -1/a²

Exercice 2

1.

(a+b)³ = (a+b)(a+b)²

= (a+b)(a²+2ab+b²)

= a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³

= a³+3a²b+3ab²+b³

2.

(2+h)³-2³ = 2³+3×2²×h + 3×2×h² + h³ - 2³

= h³+6h²+12h

lim([(2+h)³-2³]/h) = lim[(h³+6h²+12h)/h] = lim(h²+6h+12) = 12

h→0 h→0 h→0

3. (a+h)³-a³ = 3a²h+3ah²+h³

et lim[((a+h)³-a³)/h] = lim(h²+3ah+3a²) = 3a²

h→0 h→0

f est derivable en a et f'(a)=3a²

4.

f est donc derivable en 2 et f'(2)=12

3×2²=2×4=12

Ton enoncé n'est pas clair au niveau de la question 3.

Explications étape par étape:

On dit qu'une fonction f est derivable en a si la limite du taux d'accroissement de f est une valeur finie k. Alors f'(a) = k

On exprime le taux d'accroissement

[tex] \frac{f(a + h) - f(a)}{h} [/tex]

Puis on determine sa limite quand h tend vers 0