On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=ln(abs(exp(x/2)−exp(x) Calculer les limites de la fonction f en 0,+∞ et −∞ Démontrer pour tout x appartient à

Bonjour,

f(x)=ln(abs(exp(x/2)−exp(x)))

a) [tex]\lim_{x\to 0} |exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|=|1-1|=0^+[/tex]

D'où  [tex]\lim_{x\to 0} ln(|exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|)=-\infty[/tex]

b) [tex]\lim_{x\to +\infty} |exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|=\lim_{x\to +\infty} |exp(\dfrac{x}{2})[1-exp(\dfrac{x}{2})]|\\\\=|+\infty\times(1-\infty)|\\\\=|+\infty\times(-\infty)|\\\\=|-\infty|\\\\=+\infty[/tex]

D'où  [tex]\lim_{x\to +\infty} ln(|exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|)=+\infty[/tex]

c)  [tex]\lim_{x\to -\infty} |exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|=|0-0|=0^+[/tex]

D'où  [tex]\lim_{x\to -\infty} ln(|exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|)=-\infty[/tex]

d)  [tex]f(x)=ln(|exp(\dfrac{x}{2}) - exp(x)|) = ln[|exp(x)|.|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|] \\\\= ln[exp(x).|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|] \\\\= ln[exp(x)+ln(|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|)\\\\= x+ln(|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|)[/tex]

Si x > 0 , alors exp(-x/2) < 1 
                      exp(-x/2) - 1 < 0
                      |exp(-x/2) - 1| = 1 - exp(-x/2)    

donc [tex]f(x) = x+ln(|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|)=x+ln(1-exp(\dfrac{-x}{2}))[/tex]

e) Si x < 0 , alors exp(-x/2) > 1 
                      exp(-x/2) - 1 > 0
                      |exp(-x/2) - 1| = exp(-x/2) -1   

Donc  [tex]f(x) = x+ln(|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|)=x+ln(exp(\dfrac{-x}{2})-1)\\\\=x+ln(e^{\frac{-x}{2}}-1)\\\\=x+ln(\dfrac{1}{e^{\frac{x}{2}}}-1)\\\\=x+ln(\dfrac{1-e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}})\\\\=x+ln(1-e^{\frac{x}{2}})-ln(e^{\frac{x}{2}}})\\\\=x+ln(1-e^{\frac{x}{2}})-\frac{x}{2}}}\\\\=\frac{x}{2}}}+ln(1-e^{\frac{x}{2}})[/tex]