/!\ BESOIN DAIDE SVP Pour rembourser un emprunt de 12000€ sans interêt, un emprunteur doit verser chaque année la même somme, durant plusieurs années. S'il vers

Bonsoir,

soit p=12000€, le montant du prêt à rembourser sans intérêt
soit x le montant annuel du remboursement
soit n le nombre d'année de remboursement

1)Pour rembourser un emprunt de 12000€ sans interêt, un emprunteur doit verser chaque année la même somme, durant plusieurs années d'où
montant du prêt=montant annuel du remboursement * nombre d'année de remboursement
p=x*n=xn donc xn=12000

S'il versait 600€ de plus par an, le remboursement serait terminé un an plus tôt d'où
p=12000€, le montant du prêt à rembourser sans intérêt
x+600 le montant annuel du remboursement
n-1 le nombre d'année de remboursement
p=(x+600)(n-1) donc (x+600)(n-1)=12000

2)(x+600)(n-1)=12000
=> xn-x+600n-600=12000 or xn=12000
=> 12000-x+600n-600=12000
=> 12000-x+600n-600-12000=0
=> -x+600n-600=0
=> x=600n-600

donc x=600n-600=600(n-1) or xn=12000
donc 600(n-1)n=12000
(n-1)n=12000/600=20
n²-n-20=0

3)n²-n-20=0 est de la forme an²+bn+c=0
Δ=b²-4ac=(-1)²-4(1)(-20)=1+80=81=9², Δ>0 donc 2 solutions n₁ et n₂
n₁=(-b-√Δ)/2a=(-(-1)-9)/2(1)=(1-9)/2=-8/2=-4 impossible car n>0
n₂=(-b+√Δ)/2a=(-(-1)+9)/2(1)=(1+9)/2=10/2=5
donc 1 seul solution n=5 et x=12000/n=12000/5=2400
et si n=5-1=4 et x+600=2400+600=3000 on a bien 4x3000=12000€ cqfd

En conclusion, la durée du prêt est de 4 ans et l'annuité de 2400€