Bonjour, J'aimerais bien avoir la réponse cette exercice s'il vous plaît vu que je ne l'ai pas compris. J'aimerais quand même avoir les explications histoire qu

Réponse :

Bon ça c'est ce que j'ai pu trouver pour toi comme explication  pour démontrer que √2 est irrationnel

Démonstration de « √2 est irrationnel »

Supposons par l'absurde que √2 soit rationnel : alors  où a, b sont des nombres entiers positifs. Il est possible de simplifier la fraction  jusqu'à ce que a, b soient premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction  ne puisse plus être simplifiée).  

Explications étape par étape

√2 = a/b

√2b = a

2b² = a²

Puisque a²est pair, a est pair et   a = 2 p   où p est un entier positif.

2b² = ( 2p )²

2b² = 4p²

b² = 2p

Puisque b² est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction  par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux.

Lemme

Pour tout entier a, si a² est pair, alors a est pair.

Démonstration par contra position : Montrons que, si a est impair, alors a2 est impair. Posons a = 2 n + 1.

Alors a² = (2 n + 1)2 = 4 n² + 4 n + 1 qui est impair.

Puisque l'hypothèse « √2 est rationnel » conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir « √2 est irrationnel ».