Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiplie de 3

Réponse :

Explications étape par étape

Soient n , n+1 et n+2 trois nombres consécutifs.

On considère le reste de la division de n par 3

Trois cas se présentent

A)  le reste de la division par 3 de n est 0

     3 divise alors n donc 3 divise aussi n (n + 1) (n + 2)

B)  le reste de la division de n par 3 est 1.

     n s'écrit alors 3 q  +1 où q est un entier naturel.

     On a alors : n + 2 = 3 q  + 1 + 2 = 3 q + 3 = 3 (q + 1)

     3 divise donc n + 2 donc 3 divise n (n + 1) (n + 2)

C)  le reste de la division de n par 3 est 2.

     n s'écrit alors 3 q  + 2 où q est un entier naturel.

     On a alors : n + 1 = 3 q  + 2 + 1 = 3 q + 3 = 3 (q + 1)

     3 divise donc n + 1 donc 3 divise n (n + 1) (n + 2)