Mathématiques

Question

bonjour j'ai un dm
a,b,c désignent des nombres réels strictement positifs.
ABC est un triangle tel que : AB= c, AC=b, BC=a
H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC)

a) Exprimer CH et BH en fonction de a et de l'angle AĈB

b) En déduire AH en fonction de b, de a et de l'angle AĈB.

c) Justifier que : c²=(b-a cos(AĈB))²+(a sin(AĈB))²
puis que: c²=b²-2ab cos(AĈB)+a²(cos²(AĈB)+ sin²(AĈB))

d) En déduire que c²=a²+b²-2ab cosAĈB

2. APPLICATION

ABC est un triangle tel que : AB=3cm, AC=5cm, BÂC=42°
Calculer BC, en cm puis arrondir au dixième.


la figure est pour la question a et b
bonjour j'ai un dm a,b,c désignent des nombres réels strictement positifs. ABC est un triangle tel que : AB= c, AC=b, BC=a H est le projeté orthogonal d

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1 Réponse

  • a)

    Exprimer CH et BH en fonction de a et de l'angle AĈB

    dans le triangle rectangle BHC

    cosC = CH / BC = CH / a                CH = a cosC

    sinC = BH / BC = BH / a                  BH = a sinC

    b)

    En déduire AH en fonction de b, de a et de l'angle AĈB.

    AH = AC - HC = b - acosC             AH = b - a cosC

     c)

    Justifier que : c²=(b-a cos(AĈB))²+(a sin(AĈB))²            

     ⋇ c'est l'application du théorème de Pythagore

           dans le triangle rectangle ABH

           AB² = AH² + HB²

           c² = (b - acosC)² + (asinC)²

    puis que: c² = b² - 2ab cos(AĈB) + a²(cos²(AĈB)+ sin²(AĈB))

      on développe

      ⋇ c² = (b - acosC)² + (asinC)²

         c² = (b² - 2ab cosC + a² cos²C) + a² sin²C

          c² = b² - 2ab cosC  + a²cos²C + sin²C

            c² = b² - 2ab cosC  + a²(cos²C + sin²C)

    d)

    En déduire que c²=a²+b²-2ab cosAĈB

    on remplace cos²C + sin²C par 1 dans

              c² = b² - 2ab cosC  + a²(cos²C + sin²C)

               c² = b² - 2ab cosC  + a²

                  c² = a² + b² - 2ab cosC  

     application

    on remplace les lettres par les nombres connus

                  3² = a² + 5² - 10a cos42°    

                    a² - 10a cos42° + 16 = 0

    tu résous l'équation pour terminer

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