pouvez vous m'aider s il vous plait pour mon dm on donne à z1= - 2 + 3 i et z 2 = 4-i Écrire sous sous la forme à + pays les nombres complexes suivants a) -2z1

Bonjour ;

1.

a.

- 2z_1 + 5z_2 = - 2(- 2 + 3i) + 5(4 - i)

= + 4 - 6i + 20 - 5i = 24 - 11i .

b.

z_1 x z_2 = (- 2 + 3i)(4 - i)

= - 8 + 2i + 12i - 3l² = - 8 + 14i + 3 = - 5 + 14i .

c.

z_1/z_2 = (- 2 + 3i)/(4 - i)

= {(- 2 + 3i)(4 + i)}/{(4 - i)(4 + i)}

= {- 8 - 2i + 12i + 3i²}/{4² - i²}

= {- 8 + 10i - 3}/{16 + 1}

= {- 11 + 10i}/{17} = - 11/17 + 10/17 i .

d.

(z_2)³ = (4 - i)³

= 4³ - 3 x 4² i + 3 x 4 x i² - i³

= 64 - 48i - 12 - (- i)

= 52 - 48i + i

= 52 - 47i .

2.

a.

Soit z = x + iy le nombre comlexe en question .

Sa partie réelle est égale à 3 , donc on a : x = 3 ;

il est égal à son conjugué , donc on a : 3 + iy = 3 - iy

donc : iy = - iy ;

donc : 2iy = 0 ;

donc : y = 0 .

Conclusion : z = 3 .

b.

Soit z = x + iy .

Ce nombre est opposé à son conjugué ,

donc on a : x + iy = - (x - iy) = - x + iy ;

donc : x = - x ;

donc : 2x = 0 ;

donc : x = 0 ;

donc : z = iy ;

donc z est un imaginaire pur .

c.

Soit z = x + iy .

L'inverse de ce nombre est égal à son opposé ;

donc on a : 1/(x + iy) = - (x + iy) ;

donc : 1 = - (x + iy)² = - (x² - y² + 2ixy) = -x² + y² - 2ixy ;

donc : y² - x² = 1 et xy = 0 ;

donc : y² - x² = 1 et (x = 0 ou y = 0) .

Si x = 0 , on a : y² = 1 ;

donc : y = 1 ou y = - 1 ;

donc : z = i ou z = - i .

Si y = 0 , on a : - x² = 1 ;

donc : x² = - 1 , ce qui est absurde .

Conclusion : On a z = i ou z = - i .