Bonjour, je suis en 1e j'ai un DM pour lundi et je bloque seulement sur l'exo 1 (un truc bête en +). J'ai déjà réalisé la figure mais je sais pas comment démont

Réponse :

1) (MN)//(BC) tu justifies

thales

AM/AB=AN/AC=MN/BC

x/10=x/10=MN/10

10MN=10x

MN = 10x/10 =x

AMN équilateral

2)NH hauteur du triangle équilatéral (voir proprietes droites dans un triangle équilateral (cours 4eme) H milieu de AM

3) aHN rectangle en H

AN²=AH²+HN²

x²=(x/2)²+HN²

HN² = x²-x²/4 =3x²/4

HN=x√3/2

4) BN²=HN²+BH²

BN²= 3x²/4+(20-x)²

BN²= 3x²/4+400-40x+x²/4=

(4x²-40x+400)/4 = x²-10x+100

5) x²-10x+100 =(x-5)²+75

à finir

Réponse :

b) démontrer que AMN est équilatéral

comme AM = AM ⇒ AMN est isocèle donc les angles à la base sont égaux : ^AMN = ^ANM

le triangle ABC est équilatéral ⇒ ^BAC = 60°

La somme des angles du triangle AMN est : ^BAC + 2^AMN = 180°

⇔ 2ÂMN = 180 - 60 = 120° ⇒ ^AMN = 120/2 = 60°

Donc les angles du triangle AMN sont égaux à 60° ⇒ le triangle AMN est équilatéral

c) montrer que H est le milieu du segment (AM)

puisque le triangle AMN est équilatéral ⇒ NH est hauteur ; médiatrice et médiane  donc AH = HM  donc  H est le milieu de (AM)

d) démontrer que HN = √3/2  * x

MN² = HN²+HM² ⇒ HN² = MN² - HM² = x² - (x/2)² = x² - x²/4 = 4 x² - x²)/4

⇒ HN² = 3 x²/4 ⇒ HN = x√3/2

e) démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 10]: BN² = x² - 10 x + 100

BN² = BM² + NH²

       = (10 - x/2)² + 3 x²/4 = 100 - 10 x + x²/4 + 3 x²/4 = 100-10 x + 4 x²/4

donc BN² = x² - 10 x + 100  

f) déterminer la position du point M pour que la distance BN soit minimale

on cherche la forme canonique de BN²

BN² = x² - 10 x + 25 - 25 + 100 = (x - 5)² + 75

donc la position du point M doit être : AM = x = 5 pour que BN soit minimale

Explications étape par étape