Bonjour j'ai ce dm a faire , j'ai rien compris. svp qu'elqun m'aide

Réponse :

soit f(x) = x³  définie sur R

1) déterminer le taux de variation de f entre 1 et 1 + h    h réel

        [f(1+h) - f(1)]/h = [(1+h)³ - 1]/h

(1+h)³ = (1+h)²(1+h) = (1 + 2 h + h²)(1 + h) = 1 + h + 2 h + 2 h² + h² + h³

         = h³ + 3 h³ + 3 h + 1

Donc  [(1+h)³ - 1]/h = [(h³ + 3 h² + 3 h + 1) - 1]/h = h² + 3 h + 3

le nombre dérivé  de f en 1 est :

f '(1) = lim (h²+ 3 h + 3) = 3

         h→0

2) déterminer s'il existe le nombre dérivé de f en - 2

      f '(-2) = lim [f(-2+h) - f(-2)]/h = lim [(h³ - 6 h² + 12 h - 8) + 8]/h

                  h→0                             h→0

f '(-2) = lim (h² - 6 h + 12) = 12

           h→0

f(-2+h) = (-2+h)³ = (-2+h)²(-2+h) = (4 - 4 h + h²)(-2+h) =

- 8 + 4 h + 8 h - 4 h² - 2 h² + h³ = h³ - 6 h² + 12 h - 8

f(- 2) = - 8

3)  [taux de variation entre a et a+h  est : f(a+h) - f(a)]/h

(a+h)³ = (a+h)²(a+h) = (a² + 2a h + h²)(a+h) = a³ + a²h + 2a² h + 2a h² + h²a + h³     =h³ + 3a h² + 3a² h + a³

[h³ + 3a h² + 3a² h + a³ - a³]/h = (h³ + 3a h² + 3a² h)/h = h² + 3a h + 3a²

f '(a) = lim (h²+ 3a h + 3a²) = 3a²

          h→0

4) déterminer de la même façon le taux de variation de la fonction g entre 2 et 2+h   de g(x) = √x

f(2+h) = √(2+h)

f(2) = √2

taux de variation :   (√(2+h) - √2)/h

   = (√(2+h) -√2)(√(2+h) + √2)/h(√(2+h) + √2) = (2+h - 2)/h(√(2+h) + √2)

  = 1/(√(2+h) + √2)  

f '(2) = lim (1/(√(2+h) + √2)) = 1/2√2 = √2/4

          h→0

5) pour la forme générale je vous laisse le soin de la faire en utilisant la méthode précédente  

Explications étape par étape