SVP Aidez-moi ! Soient a,b et c des nombres réels positifs. montrer que : [tex] {a}^{2} + 2 {b }^{2} + {c}^{2} \geqslant 2b(a + c)[/tex] ​

Réponse :

pour ça tu fais la différence et tu montres qu'elle est positive.

a²+2b²+c²-2b(a+c) = a²-2ab + b² + b² -2bc + c² = (a-b)² + (b-c)² qui est positif. Conclusion ?

Explications étape par étape

a² + 2b² + c² ≥ 2b(a + c)

       (1)                   (2)

je calcule la différence (1) - (2)

(a² + 2b² + c²) - 2b(a + c) =

a² + 2b² + c² - 2ba - 2bc =

a² + b² + b² + c² - 2ba - 2bc =

a² -2ba + b² + c² - 2bc + b² =

(a - b)² + (c - b)²  

cette différence est une somme de deux carrés, elle est positive

le membre (1) est supérieur au membre (2)