Bonjour, j'ai un DM à rendre pour le mardi 11 novembre en maths. Je suis en terminale S. Le problème est lorsque je veux montrer par récurrence que ma suite est

Bonjour ;

Montrons que pour tout n ∈ IN : 0 ≤ v_n .

Initialisation :

On a pour n = 0 , v_0 = 0 ; donc : 0 ≤ v_0 .

Hérédité :

Soit n ∈ IN . Supposons qu'on a : 0 ≤ v_n .

On a donc : 3 ≤ 2v_n + 3 et 4 ≤ v²_n + 4 ;

donc : 0 < 2v_n + 3 et 0 < v²_n + 4 ;

donc : 0 < (2v_n + 3)/(v²_n + 4) ;

donc : 0 < v_(n + 1) .

Conclusion :

Pour tout n ∈ IN : 0 ≤ v_n .

Montrons maintenant que pour tout n ∈ IN , on a : v_n < 1 .

Initialisation :

On a pour n = 0 , v_0 = 0 ; donc : v_0 < 1 .

Hérédité :

Soit n ∈ IN . Supposons qu'on a :  v_n < 1 .

On a donc : 0 ≤ v_n < 1 ;

donc : - 1 ≤ v_n - 1 < 0 ;

donc : 0 < (v_n - 1)² ≤ 1 ;

donc : 0 < v²_n - 2v_n + 1 ≤ 1 ;

donc : 2v_n + 3 < v²_n + 4 ≤ 2v_n + 4 ;

donc : 2v_n + 3 < v²_n + 4 ;

donc : (2v_n + 3)/(v²_n + 4) < 1

donc : v_(n + 1) < 1 .

Conclusion :

Pour tout n ∈ IN : v_n < 1 .

Donc on a : pour tout n ∈ IN , 0 ≤ v_n < 1 .

Pour terminer la démonstration , montrons que la suite est croissante .

Soit n ∈ IN .

On a : v(n + 1) - v_n = (2v_n + 3)/(v²_n + 4) - v_n

= (2v_n + 3 -v³_n - 4v_n)/(v²_n + 4)

= (- v³_n - 2v_n + 3)/(v²_n + 4)

= - (v³_n + 2v_n - 3)/(v²_n + 4)

= - (v_n - 1)(v²_n + v_n + 3)/(v²_n + 4) .

Le discriminant de l'expression : v²_n + v_n + 3 est Δ = 1 - 12 = - 11 < 0 ;

donc cette expression ne s'annule et garde pour tout n ∈ IN le même ;

donc elle a le signe de v²_0 + v_0 + 3 = 3 > 0 .

Donc pour tout n ∈ IN , (v²_n + v_n + 3)/(v²_n + 4) > 0 et v_n - 1 < 0 ;

donc pour tout n ∈ IN , - (v_n - 1)(v²_n + v_n + 3)/(v²_n + 4) > 0 ;

donc v(n + 1) - v_n > 0 .

En conclusion , la suite (v_n) est majorée par 1 et strictement

croissante ; donc elle est convergente .

Comme la fonction f continue et définie sur [0 ; 1[ par

f(x) = (2x + 3)/(x² + 4) , et comme pour tout n ∈ IN , 0 ≤ v_n < 1

et v_n est convergente , alors la limite L de cette suite vérifie

l'équation suite : L = f(L) ;

donc : (2L + 3)/(L² + 4) = L ;

donc : 2L + 3 = L³ + 4L  ;

donc : L³ + 2L - 3 = 0 ;

donc : (L - 1)(L² + L + 3) = 0 ;

donc : L - 1 = 0 , car on a déjà démontré que L² + L + 3 ne s'annule pas ;

donc : L = 1 .