Bonsoir, est ce que vous pouvez m'aider pour cette question s'il vous plaît. Merci d'avance. En justifiant trouver un nombre irrationnel compris entre 0 et 1

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

si a<b

a/b <1

si a et b sont premiers entre eux

a/b est irrationnel

exemple

15/22

15=3x5

22=2x11

15 et 22 n'ont pas de diviseur commun

ils sont premiers entre eux

15<22

15/22<1

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour!

Par définition, un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme irréductible p/q avec p∈Z et q∈Z*.

Prenons le nombre √2/2≅0.707... donc compris entre 0 et 1.

Raisonnons par l'absurde et supposons que √2/2 est rationnel. On peut alors l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible p/q:

√2/2=p/q ⇔ q(√2/2)=p .

En élevant au carré on a q²*2/4=p²  soit 2*(q²/4)=p²  ⇒ p² est pair

Donc p=2k (k∈Z) , soit 2*(q²/4)=(2k)²=4k²

On en déduit que q²=4k²*4/2=8k²=2*(4k²)  donc q² est pair  et la fraction p/q n'est pas irréductible , ce qui est contradictoire avec l'hypothèse.

On en conclut que 0≤√2/2≤1 est un nombre irrationnel.