on admet la formule suivante pour tout entier naturel n, 1/Vn+Vn+1=Vn+1-Vn. ( une petite précision le V est le symbole racine carrée parce qu'il n'y a pas sur c

Bonjour

[tex]\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex]

Remplaçons n successivement par 1 ; 2 ; 3 ; ...; 998 ; 999 et additionnons.

[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} +\\...+\dfrac{1}{\sqrt{998}+\sqrt{999}}+\dfrac{1}{\sqrt{999}+\sqrt{1000}}\\\\=\sqrt{2}-\sqrt{1}\\+\sqrt{3}-\sqrt{2}\\+\sqrt{4}-\sqrt{3}\\+\sqrt{5}-\sqrt{4}\\...\\+\sqrt{999}-\sqrt{998}\\+\sqrt{1000}-\sqrt{999}[/tex]

Supprimons les termes qui s'annulent.

[tex]=\sqrt{\not{2}}-\sqrt{1}\\+\sqrt{\not{3}}-\sqrt{\not{2}}\\+\sqrt{\not{4}}-\sqrt{\not{3}}\\+\sqrt{\not{5}}-\sqrt{\not{4}}\\...\\+\sqrt{\not{9}\not{9}\not{9}}-\sqrt{\not{9}\not{9}\not{8}}\\+\sqrt{1000}-\sqrt{\not{9\not{9}\not{9}}}\\\\=\sqrt{1000}-\sqrt{1}\\\\=\sqrt{1000}-1[/tex]