Bonour, j'ai besoin d'aide sur ces questions: a) Que dire de la somme de trois nombres pairs? Pourquoi? b) La somme de trois nombres consécutifs est-elle paire

Bonjour ;

a.

Un nombre entier naturel x est pair si il existe un nombre entier

naturel h tel que : x = 2h .

Un nombre entier naturel y est pair si il existe un nombre entier

naturel k tel que : y = 2k .

Un nombre entier naturel z est pair si il existe un nombre entier

naturel j tel que : z = 2j .

La somme de ces trois nombres entiers naturels est :

x + y + z = 2h + 2k + 2j = 2(h + k + i) .

Comme h , k et j sont des nombres entiers naturels alors

h + k + j est un nombre entier naturel , donc la somme de

trois nombres entiers naturels est un nombre entier naturel pair .

b.

Sont n un nombre entier naturel , donc le nombre entier naturel

qui lui est consécutif est : n + 1 ; et le nombre entier naturel qui

est consécutif à n + 1 est n + 2 ; donc la somme de ces trois

nombres entiers naturels consécutifs est : n + (n + 1) + (n + 2)

= 3n + 3 = 3(n + 1) .

La parité de la somme de ces trois nombres entiers naturels

consécutifs dépend de la parité de n qui est le premier nombre

de ces trois nombres entiers naturels : si n est pair alors il existe

un nombre entier naturel k tel  que n = 2k ; donc : 3(n + 1)

= 3(2k + 1) qui est le produit de deux nombres entiers naturels

impairs , donc n + (n + 1) + (n + 2) est impair , et si n est

impair alors il existe h un nombre entier naturel tel que :

n = 2h + 1 ; donc 3(n + 1) = 3(2k + 1 + 1) = 3(2k + 2) = 6(k + 1)

qui est le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair ,

donc c'est un nombre entier naturel pair .

Conclusion : si n est pair alors la somme de trois nombres

entiers naturels consécutifs dont n est le premier terme est

impair , et si n est impair alors la somme de trois nombres

entiers naturels consécutifs dont n est le premier terme

est pair .

c.

Soient m et n deux nombres entiers naturels pairs , donc il

existe deux nombres entiers naturels h et k tels que :

m = 2 h et n = 2k ; donc le produit de ces deux nombres est :

mn = (2h) * (2k) = 4hk = 2 * (2hk) ; donc le produit de deux

nombres entiers naturels pairs est pair .

Soient m et n deux nombres entiers naturels impairs , donc il

existe deux nombres entiers naturels h et k tels que :

m = 2 h + 1 et n = 2k + 1 ; donc le  produit de ces deux nombres

est : mn = (2h + 1) * (2k + 1) = 4hk + 2h + 2k + 1

= 2(2hk + h + k) + 1 ; donc le produit de deux nombres entiers

naturels impairs est impair .

Soient n un nombre entier naturel et n + 1 le nombre entier

naturel qui lui est consécutif .

Si n est un nombre entier naturel pair alors il existe un nombre

entier naturel k tel que : n = 2k ; donc le produit de n et n + 1

est : n(n + 1) = 2k(2k + 1) = 2(k(2k + 1)) qui est un nombre entier

naturel pair .

Si n est un nombre entier naturel impair alors il existe un nombre

entier naturel k tel que : n = 2k + 1 ; donc le produit de n et n + 1

est : n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 1 + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(k + 1)(2k + 1)

= 2((k + 1)(2k + 1)) qui est un nombre entier naturel pair .

Conclusion : le produit de deux nombres entiers naturels

consécutifs est pair .