Dans une fête foraine, Céline invente un nouveau jeu de loterie. Elle veut qu'il y ait de nombreux gagnants, mais pas trop quand même. Elle choisit donc une urn

Bonsoir,

Soit x le nombre de boules jaunes.
Alors le nombre de boules vertes est (x-10)
         le nombre total de boules est x + (x-10) = 2x - 10.

Les tirages des deux boules sont indépendants entre eux puisqu'il y a remise de la première boule avant le tirage de la seconde.

Soit les événements : J1 : "la première boule tirée est jaune"
                                   J2 : "la deuxième boule tirée est jaune"
                                   V1 : "la première boule tirée est verte"
                                   V2 : "la deuxième boule tirée est verte"

Obtenir deux boules de la même couleur signifie : tirer deux boules jaunes ou tirer deux boules vertes.

[tex]P(J_1\ et\ J_2)=P(J_1)\times P(J_2)[/tex]  car J1 et J2 sont indépendants.

[tex]P(J_1\ et\ J_2)=\dfrac{x}{2x-10}\times\dfrac{x}{2x-10}\\\\P(J_1\ et\ J_2)=\dfrac{x^2}{(2x-10)^2}[/tex]

[tex]P(V_1\ et\ V_2)=P(V_1)\times P(V_2)[/tex]  car V1 et V2 sont indépendants.

[tex]P(V_1\ et\ V_2)=\dfrac{x-10}{2x-10}\times\dfrac{x-10}{2x-10}\\\\P(V_1\ et\ V_2)=\dfrac{(x-10)^2}{(2x-10)^2}[/tex]

P(les deux boules sont de la même couleur) = P(J1 et J2) + P(V1 et V2)
[tex]=\dfrac{x^2}{(2x-10)^2}+\dfrac{(x-10)^2}{(2x-10)^2}\\\\=\dfrac{x^2+(x-10)^2}{(2x-10)^2}\\\\=\dfrac{x^2+x^2-20x+100}{(2x-10)^2}\\\\=\dfrac{2x^2-20x+100}{(2x-10)^2}[/tex]                                                                      
Cette probabilité doit être inférieure à 0,65.

[tex]\dfrac{2x^2-20x+100}{(2x-10)^2}<0,65\\\\\dfrac{2x^2-20x+100}{(2x-10)^2}-0,65<0\\\\\dfrac{2x^2-20x+100-0,65(2x-10)^2}{(2x-10)^2}<0\\\\\dfrac{2x^2-20x+100-0,65(4x^2-40x+100)}{(2x-10)^2}<0\\\\\dfrac{2x^2-20x+100-2,6x^2+26x-65}{(2x-10)^2}<0\\\\\dfrac{-0,6x^2+6x+35}{(2x-10)^2}<0[/tex]

Tableau de signes.
Racines du numérateur : [tex]\Delta=6^2-4\times(-0,6)\times35=120\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{120}}{2\times(-0,6)}\approx14,1\\\\x_2=\dfrac{-6+\sqrt{120}}{2\times(-0,6)}\approx-4,1[/tex]
Racine du dénominateur : (2x-10)²=0 ==> 2x-10=0 ==> 2x=10 ==> x = 5

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|}x&-\infty&&-4,1&&5&&14,1&&+\infty \\ -0,6x^2+6x+35&&-&0&+&+&+&0&-&\\ (2x-10)^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\ Quotient&&-&0&+&|&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]

[tex]\dfrac{-0,6x^2+6x+35}{(2x-10)^2}<0\Longleftrightarrow x\in]-\infty;-4,1[\ \cup\ ]14,1;+\infty[[/tex]

Or x ne peut pas être négatif.

Donc [tex]x\in ]14,1;+\infty[[/tex]

Puisque x est un nombre entier, le plus petit nombre entier de l'intervalle]14,1 ; +inf[ est 15.

Donc, il faut 15 boules jaunes au minimum pour que la probabilité de gagner soit inférieure à 0,65.