Bonsoir, Je rencontre quelques difficultés sur un exercice de mathématiques. En effet je dois démontrer par récurrence la relation suivante : démontrer que pour
Mathématiques
chloebernard1406
Question
Bonsoir,
Je rencontre quelques difficultés sur un exercice de mathématiques. En effet je dois démontrer par récurrence la relation suivante : démontrer que pour tout entier naturel n> ou = 4, Un> ou = 0; pour l'expression suivante : Un+1= 1/3 Un+n-2 en sachant que U0= 1.
Alors j'ai commencé par l'initialisation:
Pour n=1, U1= 1/3*U0+1-2
U1= -5/3
J'en ai déduis que lorsque n< ou =4 alors Un< ou =0.
Sauf que je devais prouver pour n> ou =4
Donc j'ai calculé: pour n=4, U4= 1/3*U3+4-2
Ce qui donne en, ayant calculé au préalable U3= -14/27,
U4= 1/3* -14/27+4-2
U4= 148/81 = 1.82
J'en ai déduis que pou n=4, Un> ou =0.
La propriété est donc vraie au rang 4.
Cependant maintenant je suis bloquée à l'hérédité et ne sais pas comment démontrer que la propriété est vraie pour tout n appartenant à |N.
Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement,
Chloé.
Je rencontre quelques difficultés sur un exercice de mathématiques. En effet je dois démontrer par récurrence la relation suivante : démontrer que pour tout entier naturel n> ou = 4, Un> ou = 0; pour l'expression suivante : Un+1= 1/3 Un+n-2 en sachant que U0= 1.
Alors j'ai commencé par l'initialisation:
Pour n=1, U1= 1/3*U0+1-2
U1= -5/3
J'en ai déduis que lorsque n< ou =4 alors Un< ou =0.
Sauf que je devais prouver pour n> ou =4
Donc j'ai calculé: pour n=4, U4= 1/3*U3+4-2
Ce qui donne en, ayant calculé au préalable U3= -14/27,
U4= 1/3* -14/27+4-2
U4= 148/81 = 1.82
J'en ai déduis que pou n=4, Un> ou =0.
La propriété est donc vraie au rang 4.
Cependant maintenant je suis bloquée à l'hérédité et ne sais pas comment démontrer que la propriété est vraie pour tout n appartenant à |N.
Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement,
Chloé.
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
Réponse :
U0 = 1 ; on cherche U4
U1 = 1/3 + 0 - 2 = - 5/3
U2 = - 5/9 + 1 - 2 = - 14/9
U3 = 1/3(-14/9) = - 14/27
U4 = 1/3(-14/27) + 3 - 2 = - 14/81 + 1 = - 14+81)/81 = 67/81
Initialisation P(4) est vraie U4 = 67/81 ≥ 0
hérédité : on suppose P(n) est vraie pour tout n ≥ 4 ⇔ Un ≥ 0
et montrons que P(n+1) est aussi vraie au rang n≥ 4 ⇔ Un+1 ≥ 0
en partant de Un ≥ 0 ⇔ (1/3)Un ≥ 0 ⇔ (1/3)Un + n ≥ n
⇔ (1/3)Un + n - 2 ≥ n - 2 or Un+1 = (1/3)Un + n - 2
donc Un+1 ≥ n - 2 puisque n ≥ 4 ⇒ n - 2 ≥ 2
donc Un+1 ≥ n-2 ≥ 2 donc Un+1 ≥ 0
Conclusion : P(4) est vraie ⇔ U4 ≥ 0 et P(n) est hériditaire au rang n ≥ 4 donc par récurrence P(n) est vraie pour tout n ≥ 4
Explications étape par étape