Je n'arrive pas à résoudre: On cherche a trouver deux nombre réels a et b tels que pour tout x ∈ R, x²+5x+6=(x+2)(ax+b). 2) En déduire que a =1;2a+b=5 et 2b=6 3

1)

x²+ 5x + 6 = (x + 2)(ax + b)

on développe le second membre

x² + 5x + 6 = (x + 2)(ax + b)

                 = ax² + bx + 2ax + 2b

                 = ax² + (b + 2a)x + 2b

on veut que cette égalité soit vraie pour tout x, le polynôme du second

membre doit être le même que celui du premier.

C'est-à-dire qu'il doit avoir les mêmes coefficients

d'où    a = 1  (coefficients de x²)

        b + 2a = 5  (coefficients de x)

            2b = 6   (termes constants)

petites équations que l'on résout

a = 1  et b = 3    

(on peut faire une vérification des calculs avec le terme du milieu)

  b + 2a = 5

  3 + 2*1 = 5   (c'est bon)

résultat

x²+ 5x + 6 = (x + 2)(ax + b)

                 = (x + 2)(x + 3)

C'est une méthode que l'on emploie pour factoriser un polynôme quand on connaît une racine.

3)

x³ - 4x² + 5x - 2 = (x - 1)(ax² + bx + c)

                        = ax³ + bx² + cx - ax²- bx - c

                      = ax³ + (b - a)x²+ (c - b)x - c

on identifie les coefficients

a = 1

b - a = - 4

c - b = 5

c = 2

on en tire a = 1, b = -3, c = 2  

x³ - 4x² + 5x - 2 = (x - 1)(1x² - 3x + 2)