Bonsoir , petit exercice niveau première que je n'ai pas compris , si quelqu'un peut m'aider , ça serait cool :)

Réponse:

1)

Comme toujours on etudie le signe de la difference de termes consecutifs

Un+1 - Un =

[(n+1)²+1]/[2(n+1)²] - (n²+1)/(2n²) =

[2n²((n+1)²+1)-2(n+1)²(n²+1)]/[4n²(n+1)²]=

[2n²(n²+2n+2) -(2n²+2)(n²+2n+1)]/[4n²(n+1)²]=

(2n⁴+4n³+4n²-2n⁴-4n³-2n²-2n²-4n-2)/[4n²(n+1)²]=

(-4n-2)/[4n²(n+1)²]

-4n-2 < 0 pour tout n non nul

4n²(n+1)² > 0 pour tout n non nul

donc Un+1 - Un < 0 pour tout n de IN*

La suite (Un) est decroissante.

2)

Etudions le signe de (n²+1)-2n²

n²+1 - 2n² = 1-n² = (1-n)(1+n)

Or :

(1-x)(1+x) =0 pour x =-1 ou x=1

1-x² est un polynome du second degré, negatif sur ]-∞;-1]U[1;+∞[ et positif sur [-1;1]

Pour n≥1, 1-n² ≤0

n²+1 - 2n² ≤ 0

n²+1 ≤ 2n²

(n²+1)/2n² ≤ 2n²/2n² avec 2n² > 0

Un ≤ 1